Matematika

Obsah studia

Matematika pro nižší ročníky gymnázia

1 Úvodní opakování

1.1 Číslo a číslice
1.2 Množiny
1.3 Přirozená čísla
1.4 Desetinná čísla
1.5 Číselné výrazy
1.6 Rovnice
1.7 Slovní úlohy
1.8 Bod, přímka, polopřímka, úsečka
1.9 Úhel
1.10 Dvojice přímek
1.11 Dvojice úhlů
1.12 Kružnice a kruh
1.13 Trojúhelník, čtyřúhelník
1.14 Přímky a roviny v prostoru
1.15 Tělesa

2 Kladná a záporná čísla

2.1 Desetinná čísla
2.2 Sčítání a odčítání desetinných čísel
2.3 Násobení desetinných čísel
2.4 Dělení desetinných čísel
2.5 Převádění jednotek
2.6 Celá čísla
2.7 Sčítání a odčítání celých čísel
2.8 Násobení a dělení celých čísel
2.9 Záporná desetinná čísla
2.10 Číselné výrazy
2.11 Číselná osa a soustava souřadnic

3 Dělitelnost

3.1 Násobek
3.2 Dělitel
3.3 Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu
3.4 Znaky dělitelnosti deseti, pěti a dvěma
3.5 Znaky dělitelnosti čtyřmi a osmi
3.6 Znaky dělitelnosti devíti a třemi
3.7 Prvočísla a čísla složená
3.8 Rozklad složených čísel
3.9 Společný dělitel
3.10 Čísla soudělná a nesoudělná
3.11 Společný násobek
3.12 Znaky dělitelnosti dalšími čísly
3.13 Slovní úlohy

4 Osová a středová souměrnost

4.1 Shodnost v rovině
4.2 Shodnost některých útvarů
4.3 Osově souměrné útvary
4.4 Osová souměrnost
4.5 Obrazy útvarů v osové souměrnosti
4.6 Středově souměrné útvary
4.7 Středová souměrnost
4.8 Obrazy útvarů ve středové souměrnosti

5 Racionální čísla, procenta

5.1 Zlomek a jeho velikost
5.2 Zlomek jako podíl čísel, smíšené číslo
5.3 Rozšiřování a krácení zlomků
5.4 Desetinné zlomky
5.5 Porovnávání zlomků
5.6 Sčítání zlomků
5.7 Záporné zlomky
5.8 Odčítání zlomků
5.9 Násobení zlomků
5.10 Dělení zlomků
5.11 Složené zlomky
5.12 Racionální čísla
5.13 Procenta
5.14 Určování procentové části
5.15 Určování základu
5.16 Určování počtu procent
5.17 Různé úlohy s procenty
5.18 Úrok
5.19 Promile

6 Trojúhelníky a čtyřúhelníky

6.1 Trojúhelník
6.2 Shodnost trojúhelníků
6.3 Střední příčky trojúhelníku
6.4 Těžnice trojúhelníku
6.5 Kružnice opsaná a vepsaná
6.6 Výšky trojúhelníku
6.7 Osově souměrné trojúhelníky
6.8 Konstrukce trojúhelníku
6.9 Čtyřúhelník
6.10 Lichoběžník
6.11 Rovnoběžník
6.12 Obsahy

7 Hranoly

7.1 Hranol, kvádr, krychle
7.2 Zobrazení hranolu
7.3 Síť hranolu
7.4 Povrch hranolu
7.5 Objem hranolu

8 Výrazy 1

8.1 Druhá mocnina
8.2 Druhá odmocnina
8.3 Třetí mocnina
8.4 Třetí odmocnina
8.5 Vyšší mocniny
8.6 Velká a malá čísla
8.7 Mocniny v geometrii
8.8 Pythagorova věta
8.9 Číselné výrazy
8.10 Výrazy s proměnnými
8.11 Sčítání a odčítání mnohočlenů
8.12 Násobení mnohočlenů
8.13 Dělení mnohočlenů jednočleny

9 Rovnice a nerovnice

9.1 Rovnost a rovnice
9.2 Ekvivalentní úpravy rovnic
9.3 Slovní úlohy řešené rovnicemi
9.4 Výpočet neznámé ze vzorce
9.5 Úlohy o pohybu
9.6 Nerovnosti
9.7 Intervaly
9.8 Nerovnice a jejich řešení

10 Kruhy a válce

10.1 Kružnice, kruh
10.2 Kružnice a přímka
10.3 Dvě kružnice
10.4 Části kružnice a kruhu
10.5 Thaletova kružnice
10.6 Délka kružnice
10.7 Obsah kruhu
10.8 Válec
10.9 Povrch válce
10.10 Objem válce

11 Úměrnosti

11.1 Poměr
11.2 Úměra
11.3 Postupný poměr
11.4 Závislost veličin
11.5 Přímá úměrnost
11.6 Nepřímá úměrnost
11.7 Trojčlenka
11.8 Měřítko
11.9 Diagramy

12 Geometrické konstrukce

12.1 Základní konstrukce
12.2 Množiny bodů daných vlastností
12.3 Konstrukční úlohy
12.4 Konstrukce trojúhelníku
12.5 Konstrukce čtyřúhelníku
12.6 Posunutí

13 Výrazy 2

13.1 Mocniny
13.2 Mnohočleny
13.3 Dělení mnohočlenů
13.4 Umocňování mnohočlenů
13.5 Rozklad na součin
13.6 Lomené výrazy
13.7 Sčítání a odčítání lomených výrazů
13.8 Násobení a dělení lomených výrazů

14 Rovnice a jejich soustavy

14.1 Rovnice a jejich úpravy
14.2 Rovnice s neznámou ve jmenovateli
14.3 Kvadratické rovnice
14.4 Slovní úlohy
14.5 Úlohy o společné práci
14.6 Úlohy o směsích
14.7 Rovnice s více neznámými
14.8 Slovní úlohy

15 Funkce

15.1 Funkce jako matematický pojem
15.2 Přímá úměrnost
15.3 Lineární funkce
15.4 Absolutní hodnota
15.5 Kvadratická funkce
15.6 Nepřímá úměrnost
15.7 Grafické řešení rovnic
15.8 Slovní úlohy
15.9 Diagramy
15.10 Základy statistiky

16 Podobnost a funkce úhlu

16.1 Podobnost útvarů
16.2 Podobné trojúhelníky
16.3 Užití podobností
16.4 Sinus ostrého úhlu
16.5 Kosinus ostrého úhlu
16.6 Tangens a kotangens ostrého úhlu
16.7 Vztahy mezi funkcemi úhlů
16.8 Řešení úloh o trojúhelníku

17 Jehlany a kužele

17.1 Přímky a roviny v prostoru
17.2 Kolmost přímek a rovin
17.3 Vzdálenosti a odchylky
17.4 Jehlany
17.5 Kužely
17.6 Komolé kužely a jehlany
17.7 Koule

Matematika pro vyšší ročníky gymnázia

1 Základní poznatky z matematiky

1.1 Číselné obory

1.1.1 Druhy čísel
1.1.2 Obor přirozených čísel
1.1.3 Obor celých čísel
1.1.4 Obor racionálních čísel
1.1.5 Obor reálných čísel
1.1.6 Druhá a třetí odmocnina
1.1.7 Absolutní hodnota reálného čísla

1.2 Množiny

1.2.1 Základní množinové pojmy
1.2.2 Vennovy diagramy
1.2.3 Intervaly

1.3 Základní poučení o výrocích

1.3.1 Výrok a jeho negace
1.3.2 Složené výroky - konjunkce a disjunkce
1.3.3 Složené výroky - implikace a ekvivalence
1.3.4 Negace složených výroků
1.3.5 Kvantifikované výroky a jejich negace
1.3.6 Definice, věty, důkazy

1.4 Elementární teorie čísel

1.4.1 Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla
1.4.2 Znaky dělitelnosti
1.4.3 Prvočísla a složená čísla
1.4.4 Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek

1.5 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem

1.5.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem
1.5.2 Mocniny s celým mocnitelem

1.6 Mnohočleny

1.6.1 Výrazy
1.6.2 Sčítání, násobení a dělení mnohočlenů
1.6.3 Rozklad mnohočlenů

1.7 Lomené výrazy

1.7.1 Krácení a rozšiřování lomených výrazů
1.7.2 Sčítání a násobení lomených výrazů
1.7.3 Dělení lomených výrazů
1.7.4 Vyjádření neznámé ze vzorce

1.8 Pravoúhlý trojúhelník

1.8.1 Pythagorova a Thaletova věta
1.8.2 Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

2 Rovnice a nerovnice

2.1 Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy

2.1.1 Lineární rovnice
2.1.2 Lineární nerovnice
2.1.3 Grafické řešení lineární rovnice a nerovnice
2.1.4 Soustavy lineárních nerovnic

2.2 Rovnice a nerovnice s jednou neznámou, které lze převést na lineární

2.2.1 Rovnice v součinovém tvaru
2.2.2 Nerovnice v součinovém tvaru
2.2.3 Rovnice v podílovém tvaru
2.2.4 Nerovnice v podílovém tvaru
2.2.5 Rovnice s absolutními hodnotami
2.2.6 Nerovnice s absolutními hodnotami

2.3 Lineární rovnice a nerovnice s více neznámými a jejich soustavy

2.3.1 Lineární rovnice se dvěma neznámými
2.3.2 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
2.3.3 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
2.3.4 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic se dvěma neznámými
2.3.5 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými

2.4 Kvadratické rovnice a nerovnice a rovnice vyšších stupňů

2.4.1 Neúplná kvadratická rovnice
2.4.2 Obecná kvadratická rovnice
2.4.3 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
2.4.4 Grafické řešení kvadratické rovnice
2.4.5 Kvadratická nerovnice
2.4.6 Grafické řešení kvadratické nerovnice
2.4.7 Rovnice vyšších stupňů

2.5 Rovnice a nerovnice, které lze převést na kvadratické a lineární

2.5.1 Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
2.5.2 Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami
2.5.3 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou
2.5.4 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic s více neznámými
2.5.5 Použití substituce

2.6 Rovnice a nerovnice s parametry

2.6.1 Rovnice s parametry
2.6.2 Nerovnice s parametry

3 Planimetrie

3.1 Geometrické útvary v rovině

3.1.1 Přímka a její části
3.1.2 Polorovina, úhel, dvojice úhlů
3.1.3 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
3.1.4 Trojúhelník
3.1.5 Shodnost trojúhelníků
3.1.6 Podobnost trojúhelníků
3.1.7 Mnohoúhelníky
3.1.8 Čtyřúhelníky
3.1.9 Kružnice, kruh
3.1.10 Úhly příslušné k oblouku kružnice
3.1.11 Obvody a obsahy geometrických obrazců
3.1.12 Eukleidovy věty, věta Pythagorova
3.1.13 Mocnost bodu ke kružnici

3.2 Konstrukční úlohy

3.2.1 Množiny všech bodů dané vlastnosti
3.2.2 Jednoduché geometrické konstrukce
3.2.3 Konstrukční úlohy řešení užitím množin bodů
3.2.4 Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků
3.2.5 Konstrukce kružnic
3.2.6 Konstrukce na základě výpočtu

3.3 Zobrazení v rovině

3.3.1 Shodné zobrazení
3.3.2 Osová souměrnost
3.3.3 Středová souměrnost
3.3.4 Posunutí
3.3.5 Otočení
3.3.6 Skládání shodných zobrazení
3.3.7 Stejnolehlost
3.3.8 Stejnolehlost kružnic
3.3.9 Užití stejnolehlosti
3.3.10 Podobné zobrazení

4 Funkce

4.1 Funkce a její graf

4.1.1 Definice funkce
4.1.2 Graf funkce
4.1.3 Obor hodnot funkce

4.2 Lineární funkce

4.2.1 Definice lineární funkce
4.2.2 Grafy lineárních funkcí při řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
4.2.3 Rostoucí a klesající funkce
4.2.4 Vlastnosti lineárních funkcí

4.3 Funkce s absolutními hodnotami

4.3.1 Funkce absolutní hodnota
4.3.2 Funkce s absolutními hodnotami
4.3.3 Sudá a lichá funkce
4.3.4 Omezená funkce
4.3.5 Maximum a minimum funkce

4.4 Kvadratické funkce

4.4.1 Kvadratická funkce
4.4.2 Grafy kvadratických funkcí
4.4.3 Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

4.5 Lineární lomené funkce

4.5.1 Nepřímá úměrnost
4.5.2 Lineární lomená funkce
4.5.3 Racionální a polynomické funkce

4.6 Mocninné funkce

4.6.1 Mocninné funkce s přirozeným exponentem
4.6.2 Mocninné funkce s celým exponentem
4.6.3 Inverzní funkce
4.6.4 Definice n-té odmocniny
4.6.5 Počítání s odmocninami
4.6.6 Mocniny s racionálním exponentem
4.6.7 Mocniny s iracionálním exponentem

4.7 Exponenciální a logaritmické funkce

4.7.1 Exponenciální funkce
4.7.2 Exponenciální rovnice
4.7.3 Logaritmická funkce
4.7.4 Logaritmus
4.7.5 Věty o logaritmech
4.7.6 Logaritmické a exponenciální rovnice
4.7.7 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus

5 Goniometrie

5.1 Funkce

5.1.1 Funkce a jejich vlastnosti
5.1.2 Periodická funkce
5.1.3 Složená funkce

5.2 Goniometrické funkce

5.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
5.2.2 Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové
5.2.3 Orientovaný úhel
5.2.4 Funkce sinus a kosinus
5.2.5 Grafy funkcí sinus a kosinus
5.2.6 Funkce tangens a kotangens
5.2.7 Goniometrické rovnice

5.3 Goniometrické vzorce

5.3.1 Základní vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí
5.3.2 Součtové vzorce
5.3.3 Další goniometrické vzorce

5.4 Trigonometrie

5.4.1 Sinová věta
5.4.2 Kosinová věta
5.4.3 Další trigonometrické věty
5.4.4 Užití sinové a kosinové věty v úlohách z praxe

6 Stereometrie

6.1 Úvod

6.1.1 Stereometrie
6.1.2 Tělesa
6.1.3 Volné rovnoběžné promítání

6.2 Polohové vlastnosti

6.2.1 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
6.2.2 Vzájemná poloha dvou přímek
6.2.3 Vzájemná poloha přímky a roviny
6.2.4 Vzájemná poloha dvou rovin
6.2.5 Rovnoběžnost přímek a rovin
6.2.6 Vzájemná poloha tří rovin
6.2.7 Řešení polohových konstrukčních úloh

6.3 Metrické vlastnosti

6.3.1 Odchylka přímek
6.3.2 Kolmost přímek a rovin
6.3.3 Odchylky přímek a rovin
6.3.4 Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
6.3.5 Vzdálenosti přímek a rovin

6.4 Zobrazení

6.4.1 Shodné zobrazení v prostoru
6.4.2 Rovinová souměrnost
6.4.3 Středová a osová souměrnost
6.4.4 Otočení a posunutí
6.4.5 Skládání shodných zobrazení
6.4.6 Podobná zobrazení

6.5 Tělesa

6.5.1 Mnohostěny
6.5.2 Rotační tělesa
6.5.3 Objem a povrch tělesa
6.5.4 Objem a povrch mnohostěnů
6.5.5 Objem a povrch rotačních těles

7 Analytická geometrie

7.1 Souřadnice

7.1.1 Souřadnice v rovině
7.1.2 Souřadnice v prostoru
7.1.3 Vzdálenost bodů
7.1.4 Střed úsečky

7.2 Vektory

7.2.1 Orientované úsečky
7.2.2 Vektor
7.2.3 Sčítání vektorů
7.2.4 Násobení vektoru číslem
7.2.5 Skalární součin vektorů
7.2.6 Posunutí soustavy souřadnic
7.2.7 Otočení kartézské soustavy souřadnic
7.2.8 Pravotočivá a levotočivá báze
7.2.9 Vektorový součin a smíšený součin

7.3 Geometrie v rovině

7.3.1 Parametrické vyjádření přímky
7.3.2 Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi
7.3.3 Obecná rovnice přímky
7.3.4 Polohové úlohy v rovině
7.3.5 Metrické úlohy v rovině
7.3.6 Směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky

7.4 Geometrie v prostoru

7.4.1 Parametrické vyjádření přímky
7.4.2 Parametrické vyjádření roviny
7.4.3 Obecná rovnice roviny
7.4.4 Polohové úlohy v prostoru
7.4.5 Metrické úlohy

7.5 Kuželosečky a kulová plocha

7.5.1 Kružnice
7.5.2 Kružnice a přímka
7.5.3 Elipsa
7.5.4 Elipsa a přímka
7.5.5 Parabola
7.5.6 Hyperbola
7.5.7 Hyperbola a přímka
7.5.8 Vyšetřování množin bodů metodou souřadnic
7.5.9 Kulová plocha

8 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

8.1 Kombinatorika

8.1.1 Základní kombinatorická pravidla
8.1.2 Variace
8.1.3 Permutace
8.1.4 Kombinace
8.1.5 Variace s opakováním
8.1.6 Permutace s opakováním
8.1.7 Kombinace s opakováním
8.1.8 Vlastnosti kombinačních čísel
8.1.9 Binomická věta

8.2 Pravděpodobnost

8.2.1 Náhodné pokusy
8.2.2 Množina možných výsledků pokusu
8.2.3 Jevy
8.2.4 Pravděpodobnosti
8.2.5 Pravděpodobnosti jevů
8.2.6 Sčítání pravděpodobností
8.2.7 Nezávislé jevy (násobení pravděpodobností)
8.2.8 Nezávislé pokusy
8.2.9 Binomické rozdělení (Bernoulliovo schéma)
8.2.10 Podmíněné pravděpodobnosti

8.3 Statistika

8.3.1 Statistický soubor, jednotka, znak
8.3.2 Rozdělení četností, jeho grafické znázornění
8.3.3 Charakteristiky polohy a variability
8.3.4 Korelace

9 Posloupnosti a řady

9.1 Posloupnosti a jejich vlastnosti

9.1.1 Pojem posloupnost
9.1.2 Rekurentní určení posloupnosti
9.1.3 Vlastnosti posloupností
9.1.4 Matematická indukce

9.2 Aritmetické a geometrické posloupnosti

9.2.1 Aritmetická posloupnost
9.2.2 Užití aritmetických posloupností
9.2.3 Geometrická posloupnost
9.2.4 Užití geometrických posloupností
9.2.5 Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností

9.3 Limity posloupností a nekonečné řady

9.3.1 Pojem limita posloupnosti
9.3.2 Věty o limitách posloupností
9.3.3 Užití limit posloupností
9.3.4 Nevlastní limita posloupnosti
9.3.5 Nekonečná geometrická řada

10 Komplexní čísla

10.1 Zavedení a základní vlastnosti komplexních čísel

10.1.1 Základní vlastnosti čísel reálných
10.1.2 Zavedení komplexních čísel
10.1.3 Sčítání a násobení komplexních čísel
10.1.4 Dělení komplexních čísel, komplexní čísla sdružená
10.1.5 Absolutní hodnota komplexního čísla

10.2 Geometrické znázornění komplexních čísel

10.2.1 Komplexní čísla jako body Gaussovy roviny
10.2.2 Goniometrický tvar komplexního čísla
10.2.3 Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
10.2.4 Moivreova věta
10.2.5 Komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině

10.3 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel

10.3.1 Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
10.3.2 Binomické rovnice
10.3.3 Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

11 Diferenciální a integrální počet

11.1 Diferenciální počet

11.1.1 Elementární funkce
11.1.1.1 Základní vlastnosti funkcí
11.1.1.2 Přehled elementárních funkcí
11.1.2 Spojitost funkce
11.1.2.1 Okolí bodu
11.1.2.2 Spojitost funkce v bodě
11.1.2.3 Spojitost funkce v intervalu
11.1.3 Limita funkce
11.1.3.1 Limita funkce v bodě
11.1.3.2 Limita funkce v nevlastním bodě
11.1.3.3 Užití limity funkce
11.1.4 Derivace funkce
11.1.4.1 Derivace funkce v bodě
11.1.4.2 Derivace elementárních funkcí
11.1.4.3 Průběh funkce
11.1.4.4 Užití diferenciálního počtu

11.2 Integrální počet

11.2.1 Primitivní funkce
11.2.1.1 Pojem primitivní funkce
11.2.1.2 Základní vzorce pro primitivní funkce
11.2.1.3 Integrační metody
11.2.2 Určitý integrál
11.2.2.1 Pojem určitý integrál
11.2.2.2 Výpočet určitých integrálů
11.2.2.3 Užití integrálního počtu