MATEMATIKA

Matematika pro nižší ročníky gymnázia

1 Úvodní opakování

• 1.1 Číslo a číslice
• 1.2 Množiny
• 1.3 Přirozená čísla
• 1.4 Desetinná čísla
• 1.5 Číselné výrazy
• 1.6 Rovnice
• 1.7 Slovní úlohy
• 1.8 Bod, přímka, polopřímka, úsečka
• 1.9 Úhel
• 1.10 Dvojice přímek
• 1.11 Dvojice úhlů
• 1.12 Kružnice a kruh
• 1.13 Trojúhelník, čtyřúhelník
• 1.14 Přímky a roviny v prostoru
• 1.15 Tělesa

2 Kladná a záporná čísla

• 2.1 Desetinná čísla
• 2.2 Sčítání a odčítání desetinných čísel
• 2.3 Násobení desetinných čísel
• 2.4 Dělení desetinných čísel
• 2.5 Převádění jednotek
• 2.6 Celá čísla
• 2.7 Sčítání a odčítání celých čísel
• 2.8 Násobení a dělení celých čísel
• 2.9 Záporná desetinná čísla
• 2.10 Číselné výrazy
• 2.11 Číselná osa a soustava souřadnic

3 Dělitelnost

• 3.1 Násobek
• 3.2 Dělitel
• 3.3 Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu
• 3.4 Znaky dělitelnosti deseti, pěti a dvěma
• 3.5 Znaky dělitelnosti čtyřmi a osmi
• 3.6 Znaky dělitelnosti devíti a třemi
• 3.7 Prvočísla a čísla složená
• 3.8 Rozklad složených čísel
• 3.9 Společný dělitel
• 3.10 Čísla soudělná a nesoudělná
• 3.11 Společný násobek
• 3.12 Znaky dělitelnosti dalšími čísly
• 3.13 Slovní úlohy

4 Osová a středová souměrnost

• 4.1 Shodnost v rovině
• 4.2 Shodnost některých útvarů
• 4.3 Osově souměrné útvary
• 4.4 Osová souměrnost
• 4.5 Obrazy útvarů v osové souměrnosti
• 4.6 Středově souměrné útvary
• 4.7 Středová souměrnost
• 4.8 Obrazy útvarů ve středové souměrnosti

5 Racionální čísla, procenta

• 5.1 Zlomek a jeho velikost
• 5.2 Zlomek jako podíl čísel, smíšené číslo
• 5.3 Rozšiřování a krácení zlomků
• 5.4 Desetinné zlomky
• 5.5 Porovnávání zlomků
• 5.6 Sčítání zlomků
• 5.7 Záporné zlomky
• 5.8 Odčítání zlomků
• 5.9 Násobení zlomků
• 5.10 Dělení zlomků
• 5.11 Složené zlomky
• 5.12 Racionální čísla
• 5.13 Procenta
• 5.14 Určování procentové části
• 5.15 Určování základu
• 5.16 Určování počtu procent
• 5.17 Různé úlohy s procenty
• 5.18 Úrok
• 5.19 Promile

6 Trojúhelníky a čtyřúhelníky

• 6.1 Trojúhelník
• 6.2 Shodnost trojúhelníků
• 6.3 Střední příčky trojúhelníku
• 6.4 Těžnice trojúhelníku
• 6.5 Kružnice opsaná a vepsaná
• 6.6 Výšky trojúhelníku
• 6.7 Osově souměrné trojúhelníky
• 6.8 Konstrukce trojúhelníku
• 6.9 Čtyřúhelník
• 6.10 Lichoběžník
• 6.11 Rovnoběžník
• 6.12 Obsahy

7 Hranoly

• 7.1 Hranol, kvádr, krychle
• 7.2 Zobrazení hranolu
• 7.3 Síť hranolu
• 7.4 Povrch hranolu
• 7.5 Objem hranolu

8 Výrazy 1

• 8.1 Druhá mocnina
• 8.2 Druhá odmocnina
• 8.3 Třetí mocnina
• 8.4 Třetí odmocnina
• 8.5 Vyšší mocniny
• 8.6 Velká a malá čísla
• 8.7 Mocniny v geometrii
• 8.8 Pythagorova věta
• 8.9 Číselné výrazy
• 8.10 Výrazy s proměnnými
• 8.11 Sčítání a odčítání mnohočlenů
• 8.12 Násobení mnohočlenů
• 8.13 Dělení mnohočlenů jednočleny

9 Rovnice a nerovnice

• 9.1 Rovnost a rovnice
• 9.2 Ekvivalentní úpravy rovnic
• 9.3 Slovní úlohy řešené rovnicemi
• 9.4 Výpočet neznámé ze vzorce
• 9.5 Úlohy o pohybu
• 9.6 Nerovnosti
• 9.7 Intervaly
• 9.8 Nerovnice a jejich řešení

10 Kruhy a válce

• 10.1 Kružnice, kruh
• 10.2 Kružnice a přímka
• 10.3 Dvě kružnice
• 10.4 Části kružnice a kruhu
• 10.5 Thaletova kružnice
• 10.6 Délka kružnice
• 10.7 Obsah kruhu
• 10.8 Válec
• 10.9 Povrch válce
• 10.10 Objem válce

11 Úměrnosti

• 11.1 Poměr
• 11.2 Úměra
• 11.3 Postupný poměr
• 11.4 Závislost veličin
• 11.5 Přímá úměrnost
• 11.6 Nepřímá úměrnost
• 11.7 Trojčlenka
• 11.8 Měřítko
• 11.9 Diagramy

12 Geometrické konstrukce

• 12.1 Základní konstrukce
• 12.2 Množiny bodů daných vlastností
• 12.3 Konstrukční úlohy
• 12.4 Konstrukce trojúhelníku
• 12.5 Konstrukce čtyřúhelníku
• 12.6 Posunutí

13 Výrazy 2

• 13.1 Mocniny
• 13.2 Mnohočleny
• 13.3 Dělení mnohočlenů
• 13.4 Umocňování mnohočlenů
• 13.5 Rozklad na součin
• 13.6 Lomené výrazy
• 13.7 Sčítání a odčítání lomených výrazů
• 13.8 Násobení a dělení lomených výrazů

14 Rovnice a jejich soustavy

• 14.1 Rovnice a jejich úpravy
• 14.2 Rovnice s neznámou ve jmenovateli
• 14.3 Kvadratické rovnice
• 14.4 Slovní úlohy
• 14.5 Úlohy o společné práci
• 14.6 Úlohy o směsích
• 14.7 Rovnice s více neznámými
• 14.8 Slovní úlohy

15 Funkce

• 15.1 Funkce jako matematický pojem
• 15.2 Přímá úměrnost
• 15.3 Lineární funkce
• 15.4 Absolutní hodnota
• 15.5 Kvadratická funkce
• 15.6 Nepřímá úměrnost
• 15.7 Grafické řešení rovnic
• 15.8 Slovní úlohy
• 15.9 Diagramy
• 15.10 Základy statistiky

16 Podobnost a funkce úhlu

• 16.1 Podobnost útvarů
• 16.2 Podobné trojúhelníky
• 16.3 Užití podobností
• 16.4 Sinus ostrého úhlu
• 16.5 Kosinus ostrého úhlu
• 16.6 Tangens a kotangens ostrého úhlu
• 16.7 Vztahy mezi funkcemi úhlů
• 16.8 Řešení úloh o trojúhelníku

17 Jehlany a kužele

• 17.1 Přímky a roviny v prostoru
• 17.2 Kolmost přímek a rovin
• 17.3 Vzdálenosti a odchylky
• 17.4 Jehlany
• 17.5 Kužely
• 17.6 Komolé kužely a jehlany
• 17.7 Koule

Matematika pro vyšší ročníky gymnázia

1 Základní poznatky z matematiky

1.1 Číselné obory

• 1.1.1 Druhy čísel
• 1.1.2 Obor přirozených čísel
• 1.1.3 Obor celých čísel
• 1.1.4 Obor racionálních čísel
• 1.1.5 Obor reálných čísel
• 1.1.6 Druhá a třetí odmocnina
• 1.1.7 Absolutní hodnota reálného čísla

1.2 Množiny

• 1.2.1 Základní množinové pojmy
• 1.2.2 Vennovy diagramy
• 1.2.3 Intervaly

1.3 Základní poučení o výrocích

• 1.3.1 Výrok a jeho negace
• 1.3.2 Složené výroky - konjunkce a disjunkce
• 1.3.3 Složené výroky - implikace a ekvivalence
• 1.3.4 Negace složených výroků
• 1.3.5 Kvantifikované výroky a jejich negace
• 1.3.6 Definice, věty, důkazy

1.4 Elementární teorie čísel

• 1.4.1 Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla
• 1.4.2 Znaky dělitelnosti
• 1.4.3 Prvočísla a složená čísla
• 1.4.4 Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek

1.5 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem

• 1.5.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem
• 1.5.2 Mocniny s celým mocnitelem

1.6 Mnohočleny

• 1.6.1 Výrazy
• 1.6.2 Sčítání, násobení a dělení mnohočlenů
• 1.6.3 Rozklad mnohočlenů

1.7 Lomené výrazy

• 1.7.1 Krácení a rozšiřování lomených výrazů
• 1.7.2 Sčítání a násobení lomených výrazů
• 1.7.3 Dělení lomených výrazů
• 1.7.4 Vyjádření neznámé ze vzorce

1.8 Pravoúhlý trojúhelník

• 1.8.1 Pythagorova a Thaletova věta
• 1.8.2 Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

2 Rovnice a nerovnice

2.1 Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy

• 2.1.1 Lineární rovnice
• 2.1.2 Lineární nerovnice
• 2.1.3 Grafické řešení lineární rovnice a nerovnice
• 2.1.4 Soustavy lineárních nerovnic

2.2 Rovnice a nerovnice s jednou neznámou, které lze převést na lineární

• 2.2.1 Rovnice v součinovém tvaru
• 2.2.2 Nerovnice v součinovém tvaru
• 2.2.3 Rovnice v podílovém tvaru
• 2.2.4 Nerovnice v podílovém tvaru
• 2.2.5 Rovnice s absolutními hodnotami
• 2.2.6 Nerovnice s absolutními hodnotami

2.3 Lineární rovnice a nerovnice s více neznámými a jejich soustavy

• 2.3.1 Lineární rovnice se dvěma neznámými
• 2.3.2 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
• 2.3.3 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
• 2.3.4 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic se dvěma neznámými
• 2.3.5 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými

2.4 Kvadratické rovnice a nerovnice a rovnice vyšších stupňů

• 2.4.1 Neúplná kvadratická rovnice
• 2.4.2 Obecná kvadratická rovnice
• 2.4.3 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
• 2.4.4 Grafické řešení kvadratické rovnice
• 2.4.5 Kvadratická nerovnice
• 2.4.6 Grafické řešení kvadratické nerovnice
• 2.4.7 Rovnice vyšších stupňů

2.5 Rovnice a nerovnice, které lze převést na kvadratické a lineární

• 2.5.1 Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
• 2.5.2 Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami
• 2.5.3 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou
• 2.5.4 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic s více neznámými
• 2.5.5 Použití substituce

2.6 Rovnice a nerovnice s parametry

• 2.6.1 Rovnice s parametry
• 2.6.2 Nerovnice s parametry

3 Planimetrie

3.1 Geometrické útvary v rovině

• 3.1.1 Přímka a její části
• 3.1.2 Polorovina, úhel, dvojice úhlů
• 3.1.3 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
• 3.1.4 Trojúhelník
• 3.1.5 Shodnost trojúhelníků
• 3.1.6 Podobnost trojúhelníků
• 3.1.7 Mnohoúhelníky
• 3.1.8 Čtyřúhelníky
• 3.1.9 Kružnice, kruh
• 3.1.10 Úhly příslušné k oblouku kružnice
• 3.1.11 Obvody a obsahy geometrických obrazců
• 3.1.12 Eukleidovy věty, věta Pythagorova
• 3.1.13 Mocnost bodu ke kružnici

3.2 Konstrukční úlohy

• 3.2.1 Množiny všech bodů dané vlastnosti
• 3.2.2 Jednoduché geometrické konstrukce
• 3.2.3 Konstrukční úlohy řešení užitím množin bodů
• 3.2.4 Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků
• 3.2.5 Konstrukce kružnic
• 3.2.6 Konstrukce na základě výpočtu

3.3 Zobrazení v rovině

• 3.3.1 Shodné zobrazení
• 3.3.2 Osová souměrnost
• 3.3.3 Středová souměrnost
• 3.3.4 Posunutí
• 3.3.5 Otočení
• 3.3.6 Skládání shodných zobrazení
• 3.3.7 Stejnolehlost
• 3.3.8 Stejnolehlost kružnic
• 3.3.9 Užití stejnolehlosti
• 3.3.10 Podobné zobrazení

4 Funkce

4.1 Funkce a její graf

• 4.1.1 Definice funkce
• 4.1.2 Graf funkce
• 4.1.3 Obor hodnot funkce

4.2 Lineární funkce

• 4.2.1 Definice lineární funkce
• 4.2.2 Grafy lineárních funkcí při řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
• 4.2.3 Rostoucí a klesající funkce
• 4.2.4 Vlastnosti lineárních funkcí

4.3 Funkce s absolutními hodnotami

• 4.3.1 Funkce absolutní hodnota
• 4.3.2 Funkce s absolutními hodnotami
• 4.3.3 Sudá a lichá funkce
• 4.3.4 Omezená funkce
• 4.3.5 Maximum a minimum funkce

4.4 Kvadratické funkce

• 4.4.1 Kvadratická funkce
• 4.4.2 Grafy kvadratických funkcí
• 4.4.3 Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

4.5 Lineární lomené funkce

• 4.5.1 Nepřímá úměrnost
• 4.5.2 Lineární lomená funkce
• 4.5.3 Racionální a polynomické funkce

4.6 Mocninné funkce

• 4.6.1 Mocninné funkce s přirozeným exponentem
• 4.6.2 Mocninné funkce s celým exponentem
• 4.6.3 Inverzní funkce
• 4.6.4 Definice n-té odmocniny
• 4.6.5 Počítání s odmocninami
• 4.6.6 Mocniny s racionálním exponentem
• 4.6.7 Mocniny s iracionálním exponentem

4.7 Exponenciální a logaritmické funkce

• 4.7.1 Exponenciální funkce
• 4.7.2 Exponenciální rovnice
• 4.7.3 Logaritmická funkce
• 4.7.4 Logaritmus
• 4.7.5 Věty o logaritmech
• 4.7.6 Logaritmické a exponenciální rovnice
• 4.7.7 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus

5 Goniometrie

5.1 Funkce

• 5.1.1 Funkce a jejich vlastnosti
• 5.1.2 Periodická funkce
• 5.1.3 Složená funkce

5.2 Goniometrické funkce

• 5.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
• 5.2.2 Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové
• 5.2.3 Orientovaný úhel
• 5.2.4 Funkce sinus a kosinus
• 5.2.5 Grafy funkcí sinus a kosinus
• 5.2.6 Funkce tangens a kotangens
• 5.2.7 Goniometrické rovnice

5.3 Goniometrické vzorce

• 5.3.1 Základní vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí
• 5.3.2 Součtové vzorce
• 5.3.3 Další goniometrické vzorce

5.4 Trigonometrie

• 5.4.1 Sinová věta
• 5.4.2 Kosinová věta
• 5.4.3 Další trigonometrické věty
• 5.4.4 Užití sinové a kosinové věty v úlohách z praxe

6 Stereometrie

6.1 Úvod

• 6.1.1 Stereometrie
• 6.1.2 Tělesa
• 6.1.3 Volné rovnoběžné promítání

6.2 Polohové vlastnosti

• 6.2.1 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
• 6.2.2 Vzájemná poloha dvou přímek
• 6.2.3 Vzájemná poloha přímky a roviny
• 6.2.4 Vzájemná poloha dvou rovin
• 6.2.5 Rovnoběžnost přímek a rovin
• 6.2.6 Vzájemná poloha tří rovin
• 6.2.7 Řešení polohových konstrukčních úloh

6.3 Metrické vlastnosti

• 6.3.1 Odchylka přímek
• 6.3.2 Kolmost přímek a rovin
• 6.3.3 Odchylky přímek a rovin
• 6.3.4 Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
• 6.3.5 Vzdálenosti přímek a rovin

6.4 Zobrazení

• 6.4.1 Shodné zobrazení v prostoru
• 6.4.2 Rovinová souměrnost
• 6.4.3 Středová a osová souměrnost
• 6.4.4 Otočení a posunutí
• 6.4.5 Skládání shodných zobrazení
• 6.4.6 Podobná zobrazení

6.5 Tělesa

• 6.5.1 Mnohostěny
• 6.5.2 Rotační tělesa
• 6.5.3 Objem a povrch tělesa
• 6.5.4 Objem a povrch mnohostěnů
• 6.5.5 Objem a povrch rotačních těles

7 Analytická geometrie

7.1 Souřadnice

• 7.1.1 Souřadnice v rovině
• 7.1.2 Souřadnice v prostoru
• 7.1.3 Vzdálenost bodů
• 7.1.4 Střed úsečky

7.2 Vektory

• 7.2.1 Orientované úsečky
• 7.2.2 Vektor
• 7.2.3 Sčítání vektorů
• 7.2.4 Násobení vektoru číslem
• 7.2.5 Skalární součin vektorů
• 7.2.6 Posunutí soustavy souřadnic
• 7.2.7 Otočení kartézské soustavy souřadnic
• 7.2.8 Pravotočivá a levotočivá báze
• 7.2.9 Vektorový součin a smíšený součin

7.3 Geometrie v rovině

• 7.3.1 Parametrické vyjádření přímky
• 7.3.2 Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi
• 7.3.3 Obecná rovnice přímky
• 7.3.4 Polohové úlohy v rovině
• 7.3.5 Metrické úlohy v rovině
• 7.3.6 Směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky

7.4 Geometrie v prostoru

• 7.4.1 Parametrické vyjádření přímky
• 7.4.2 Parametrické vyjádření roviny
• 7.4.3 Obecná rovnice roviny
• 7.4.4 Polohové úlohy v prostoru
• 7.4.5 Metrické úlohy

7.5 Kuželosečky a kulová plocha

• 7.5.1 Kružnice
• 7.5.2 Kružnice a přímka
• 7.5.3 Elipsa
• 7.5.4 Elipsa a přímka
• 7.5.5 Parabola
• 7.5.6 Hyperbola
• 7.5.7 Hyperbola a přímka
• 7.5.8 Vyšetřování množin bodů metodou souřadnic
• 7.5.9 Kulová plocha

8 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

8.1 Kombinatorika

• 8.1.1 Základní kombinatorická pravidla
• 8.1.2 Variace
• 8.1.3 Permutace
• 8.1.4 Kombinace
• 8.1.5 Variace s opakováním
• 8.1.6 Permutace s opakováním
• 8.1.7 Kombinace s opakováním
• 8.1.8 Vlastnosti kombinačních čísel
• 8.1.9 Binomická věta

8.2 Pravděpodobnost

• 8.2.1 Náhodné pokusy
• 8.2.2 Množina možných výsledků pokusu
• 8.2.3 Jevy
• 8.2.4 Pravděpodobnosti
• 8.2.5 Pravděpodobnosti jevů
• 8.2.6 Sčítání pravděpodobností
• 8.2.7 Nezávislé jevy (násobení pravděpodobností)
• 8.2.8 Nezávislé pokusy
• 8.2.9 Binomické rozdělení (Bernoulliovo schéma)
• 8.2.10 Podmíněné pravděpodobnosti

8.3 Statistika

• 8.3.1 Statistický soubor, jednotka, znak
• 8.3.2 Rozdělení četností, jeho grafické znázornění
• 8.3.3 Charakteristiky polohy a variability
• 8.3.4 Korelace

9 Posloupnosti a řady

9.1 Posloupnosti a jejich vlastnosti

• 9.1.1 Pojem posloupnost
• 9.1.2 Rekurentní určení posloupnosti
• 9.1.3 Vlastnosti posloupností
• 9.1.4 Matematická indukce

9.2 Aritmetické a geometrické posloupnosti

• 9.2.1 Aritmetická posloupnost
• 9.2.2 Užití aritmetických posloupností
• 9.2.3 Geometrická posloupnost
• 9.2.4 Užití geometrických posloupností
• 9.2.5 Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností

9.3 Limity posloupností a nekonečné řady

• 9.3.1 Pojem limita posloupnosti
• 9.3.2 Věty o limitách posloupností
• 9.3.3 Užití limit posloupností
• 9.3.4 Nevlastní limita posloupnosti
• 9.3.5 Nekonečná geometrická řada

10 Komplexní čísla

10.1 Zavedení a základní vlastnosti komplexních čísel

• 10.1.1 Základní vlastnosti čísel reálných
• 10.1.2 Zavedení komplexních čísel
• 10.1.3 Sčítání a násobení komplexních čísel
• 10.1.4 Dělení komplexních čísel, komplexní čísla sdružená
• 10.1.5 Absolutní hodnota komplexního čísla

10.2 Geometrické znázornění komplexních čísel

• 10.2.1 Komplexní čísla jako body Gaussovy roviny
• 10.2.2 Goniometrický tvar komplexního čísla
• 10.2.3 Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
• 10.2.4 Moivreova věta
• 10.2.5 Komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině

10.3 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel

• 10.3.1 Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
• 10.3.2 Binomické rovnice
• 10.3.3 Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

11 Diferenciální a integrální počet

11.1 Diferenciální počet

• 11.1.1 Elementární funkce
• 11.1.1.1 Základní vlastnosti funkcí
• 11.1.1.2 Přehled elementárních funkcí
• 11.1.2 Spojitost funkce
• 11.1.2.1 Okolí bodu
• 11.1.2.2 Spojitost funkce v bodě
• 11.1.2.3 Spojitost funkce v intervalu
• 11.1.3 Limita funkce
• 11.1.3.1 Limita funkce v bodě
• 11.1.3.2 Limita funkce v nevlastním bodě
• 11.1.3.3 Užití limity funkce
• 11.1.4 Derivace funkce
• 11.1.4.1 Derivace funkce v bodě
• 11.1.4.2 Derivace elementárních funkcí
• 11.1.4.3 Průběh funkce
• 11.1.4.4 Užití diferenciálního počtu

11.2 Integrální počet

• 11.2.1 Primitivní funkce
• 11.2.1.1 Pojem primitivní funkce
• 11.2.1.2 Základní vzorce pro primitivní funkce
• 11.2.1.3 Integrační metody
• 11.2.2 Určitý integrál
• 11.2.2.1 Pojem určitý integrál
• 11.2.2.2 Výpočet určitých integrálů
• 11.2.2.3 Užití integrálního počtu