MATEMATIKA
Obsah studia
Matematika pro nižší ročníky gymnázia
1 Úvodní opakování
- 1.1 Číslo a číslice
- 1.2 Množiny
- 1.3 Přirozená čísla
- 1.4 Desetinná čísla
- 1.5 Číselné výrazy
- 1.6 Rovnice
- 1.7 Slovní úlohy
- 1.8 Bod, přímka, polopřímka, úsečka
- 1.9 Úhel
- 1.10 Dvojice přímek
- 1.11 Dvojice úhlů
- 1.12 Kružnice a kruh
- 1.13 Trojúhelník, čtyřúhelník
- 1.14 Přímky a roviny v prostoru
- 1.15 Tělesa
2 Kladná a záporná čísla
- 2.1 Desetinná čísla
- 2.2 Sčítání a odčítání desetinných čísel
- 2.3 Násobení desetinných čísel
- 2.4 Dělení desetinných čísel
- 2.5 Převádění jednotek
- 2.6 Celá čísla
- 2.7 Sčítání a odčítání celých čísel
- 2.8 Násobení a dělení celých čísel
- 2.9 Záporná desetinná čísla
- 2.10 Číselné výrazy
- 2.11 Číselná osa a soustava souřadnic
3 Dělitelnost
- 3.1 Násobek
- 3.2 Dělitel
- 3.3 Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu
- 3.4 Znaky dělitelnosti deseti, pěti a dvěma
- 3.5 Znaky dělitelnosti čtyřmi a osmi
- 3.6 Znaky dělitelnosti devíti a třemi
- 3.7 Prvočísla a čísla složená
- 3.8 Rozklad složených čísel
- 3.9 Společný dělitel
- 3.10 Čísla soudělná a nesoudělná
- 3.11 Společný násobek
- 3.12 Znaky dělitelnosti dalšími čísly
- 3.13 Slovní úlohy
4 Osová a středová souměrnost
- 4.1 Shodnost v rovině
- 4.2 Shodnost některých útvarů
- 4.3 Osově souměrné útvary
- 4.4 Osová souměrnost
- 4.5 Obrazy útvarů v osové souměrnosti
- 4.6 Středově souměrné útvary
- 4.7 Středová souměrnost
- 4.8 Obrazy útvarů ve středové souměrnosti
5 Racionální čísla, procenta
- 5.1 Zlomek a jeho velikost
- 5.2 Zlomek jako podíl čísel, smíšené číslo
- 5.3 Rozšiřování a krácení zlomků
- 5.4 Desetinné zlomky
- 5.5 Porovnávání zlomků
- 5.6 Sčítání zlomků
- 5.7 Záporné zlomky
- 5.8 Odčítání zlomků
- 5.9 Násobení zlomků
- 5.10 Dělení zlomků
- 5.11 Složené zlomky
- 5.12 Racionální čísla
- 5.13 Procenta
- 5.14 Určování procentové části
- 5.15 Určování základu
- 5.16 Určování počtu procent
- 5.17 Různé úlohy s procenty
- 5.18 Úrok
- 5.19 Promile
6 Trojúhelníky a čtyřúhelníky
- 6.1 Trojúhelník
- 6.2 Shodnost trojúhelníků
- 6.3 Střední příčky trojúhelníku
- 6.4 Těžnice trojúhelníku
- 6.5 Kružnice opsaná a vepsaná
- 6.6 Výšky trojúhelníku
- 6.7 Osově souměrné trojúhelníky
- 6.8 Konstrukce trojúhelníku
- 6.9 Čtyřúhelník
- 6.10 Lichoběžník
- 6.11 Rovnoběžník
- 6.12 Obsahy
7 Hranoly
- 7.1 Hranol, kvádr, krychle
- 7.2 Zobrazení hranolu
- 7.3 Síť hranolu
- 7.4 Povrch hranolu
- 7.5 Objem hranolu
8 Výrazy 1
- 8.1 Druhá mocnina
- 8.2 Druhá odmocnina
- 8.3 Třetí mocnina
- 8.4 Třetí odmocnina
- 8.5 Vyšší mocniny
- 8.6 Velká a malá čísla
- 8.7 Mocniny v geometrii
- 8.8 Pythagorova věta
- 8.9 Číselné výrazy
- 8.10 Výrazy s proměnnými
- 8.11 Sčítání a odčítání mnohočlenů
- 8.12 Násobení mnohočlenů
- 8.13 Dělení mnohočlenů jednočleny
9 Rovnice a nerovnice
- 9.1 Rovnost a rovnice
- 9.2 Ekvivalentní úpravy rovnic
- 9.3 Slovní úlohy řešené rovnicemi
- 9.4 Výpočet neznámé ze vzorce
- 9.5 Úlohy o pohybu
- 9.6 Nerovnosti
- 9.7 Intervaly
- 9.8 Nerovnice a jejich řešení
10 Kruhy a válce
- 10.1 Kružnice, kruh
- 10.2 Kružnice a přímka
- 10.3 Dvě kružnice
- 10.4 Části kružnice a kruhu
- 10.5 Thaletova kružnice
- 10.6 Délka kružnice
- 10.7 Obsah kruhu
- 10.8 Válec
- 10.9 Povrch válce
- 10.10 Objem válce
11 Úměrnosti
- 11.1 Poměr
- 11.2 Úměra
- 11.3 Postupný poměr
- 11.4 Závislost veličin
- 11.5 Přímá úměrnost
- 11.6 Nepřímá úměrnost
- 11.7 Trojčlenka
- 11.8 Měřítko
- 11.9 Diagramy
12 Geometrické konstrukce
- 12.1 Základní konstrukce
- 12.2 Množiny bodů daných vlastností
- 12.3 Konstrukční úlohy
- 12.4 Konstrukce trojúhelníku
- 12.5 Konstrukce čtyřúhelníku
- 12.6 Posunutí
13 Výrazy 2
- 13.1 Mocniny
- 13.2 Mnohočleny
- 13.3 Dělení mnohočlenů
- 13.4 Umocňování mnohočlenů
- 13.5 Rozklad na součin
- 13.6 Lomené výrazy
- 13.7 Sčítání a odčítání lomených výrazů
- 13.8 Násobení a dělení lomených výrazů
14 Rovnice a jejich soustavy
- 14.1 Rovnice a jejich úpravy
- 14.2 Rovnice s neznámou ve jmenovateli
- 14.3 Kvadratické rovnice
- 14.4 Slovní úlohy
- 14.5 Úlohy o společné práci
- 14.6 Úlohy o směsích
- 14.7 Rovnice s více neznámými
- 14.8 Slovní úlohy
15 Funkce
- 15.1 Funkce jako matematický pojem
- 15.2 Přímá úměrnost
- 15.3 Lineární funkce
- 15.4 Absolutní hodnota
- 15.5 Kvadratická funkce
- 15.6 Nepřímá úměrnost
- 15.7 Grafické řešení rovnic
- 15.8 Slovní úlohy
- 15.9 Diagramy
- 15.10 Základy statistiky
16 Podobnost a funkce úhlu
- 16.1 Podobnost útvarů
- 16.2 Podobné trojúhelníky
- 16.3 Užití podobností
- 16.4 Sinus ostrého úhlu
- 16.5 Kosinus ostrého úhlu
- 16.6 Tangens a kotangens ostrého úhlu
- 16.7 Vztahy mezi funkcemi úhlů
- 16.8 Řešení úloh o trojúhelníku
17 Jehlany a kužele
- 17.1 Přímky a roviny v prostoru
- 17.2 Kolmost přímek a rovin
- 17.3 Vzdálenosti a odchylky
- 17.4 Jehlany
- 17.5 Kužely
- 17.6 Komolé kužely a jehlany
- 17.7 Koule
Matematika pro vyšší ročníky gymnázia
1 Základní poznatky z matematiky
1.1 Číselné obory
- 1.1.1 Druhy čísel
- 1.1.2 Obor přirozených čísel
- 1.1.3 Obor celých čísel
- 1.1.4 Obor racionálních čísel
- 1.1.5 Obor reálných čísel
- 1.1.6 Druhá a třetí odmocnina
- 1.1.7 Absolutní hodnota reálného čísla
1.2 Množiny
- 1.2.1 Základní množinové pojmy
- 1.2.2 Vennovy diagramy
- 1.2.3 Intervaly
1.3 Základní poučení o výrocích
- 1.3.1 Výrok a jeho negace
- 1.3.2 Složené výroky - konjunkce a disjunkce
- 1.3.3 Složené výroky - implikace a ekvivalence
- 1.3.4 Negace složených výroků
- 1.3.5 Kvantifikované výroky a jejich negace
- 1.3.6 Definice, věty, důkazy
1.4 Elementární teorie čísel
- 1.4.1 Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla
- 1.4.2 Znaky dělitelnosti
- 1.4.3 Prvočísla a složená čísla
- 1.4.4 Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek
1.5 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem
- 1.5.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem
- 1.5.2 Mocniny s celým mocnitelem
1.6 Mnohočleny
- 1.6.1 Výrazy
- 1.6.2 Sčítání, násobení a dělení mnohočlenů
- 1.6.3 Rozklad mnohočlenů
1.7 Lomené výrazy
- 1.7.1 Krácení a rozšiřování lomených výrazů
- 1.7.2 Sčítání a násobení lomených výrazů
- 1.7.3 Dělení lomených výrazů
- 1.7.4 Vyjádření neznámé ze vzorce
1.8 Pravoúhlý trojúhelník
- 1.8.1 Pythagorova a Thaletova věta
- 1.8.2 Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku
2 Rovnice a nerovnice
2.1 Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy
- 2.1.1 Lineární rovnice
- 2.1.2 Lineární nerovnice
- 2.1.3 Grafické řešení lineární rovnice a nerovnice
- 2.1.4 Soustavy lineárních nerovnic
2.2 Rovnice a nerovnice s jednou neznámou, které lze převést na lineární
- 2.2.1 Rovnice v součinovém tvaru
- 2.2.2 Nerovnice v součinovém tvaru
- 2.2.3 Rovnice v podílovém tvaru
- 2.2.4 Nerovnice v podílovém tvaru
- 2.2.5 Rovnice s absolutními hodnotami
- 2.2.6 Nerovnice s absolutními hodnotami
2.3 Lineární rovnice a nerovnice s více neznámými a jejich soustavy
- 2.3.1 Lineární rovnice se dvěma neznámými
- 2.3.2 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
- 2.3.3 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
- 2.3.4 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic se dvěma neznámými
- 2.3.5 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými
2.4 Kvadratické rovnice a nerovnice a rovnice vyšších stupňů
- 2.4.1 Neúplná kvadratická rovnice
- 2.4.2 Obecná kvadratická rovnice
- 2.4.3 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
- 2.4.4 Grafické řešení kvadratické rovnice
- 2.4.5 Kvadratická nerovnice
- 2.4.6 Grafické řešení kvadratické nerovnice
- 2.4.7 Rovnice vyšších stupňů
2.5 Rovnice a nerovnice, které lze převést na kvadratické a lineární
- 2.5.1 Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
- 2.5.2 Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami
- 2.5.3 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou
- 2.5.4 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic s více neznámými
- 2.5.5 Použití substituce
2.6 Rovnice a nerovnice s parametry
- 2.6.1 Rovnice s parametry
- 2.6.2 Nerovnice s parametry
3 Planimetrie
3.1 Geometrické útvary v rovině
- 3.1.1 Přímka a její části
- 3.1.2 Polorovina, úhel, dvojice úhlů
- 3.1.3 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
- 3.1.4 Trojúhelník
- 3.1.5 Shodnost trojúhelníků
- 3.1.6 Podobnost trojúhelníků
- 3.1.7 Mnohoúhelníky
- 3.1.8 Čtyřúhelníky
- 3.1.9 Kružnice, kruh
- 3.1.10 Úhly příslušné k oblouku kružnice
- 3.1.11 Obvody a obsahy geometrických obrazců
- 3.1.12 Eukleidovy věty, věta Pythagorova
- 3.1.13 Mocnost bodu ke kružnici
3.2 Konstrukční úlohy
- 3.2.1 Množiny všech bodů dané vlastnosti
- 3.2.2 Jednoduché geometrické konstrukce
- 3.2.3 Konstrukční úlohy řešení užitím množin bodů
- 3.2.4 Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků
- 3.2.5 Konstrukce kružnic
- 3.2.6 Konstrukce na základě výpočtu
3.3 Zobrazení v rovině
- 3.3.1 Shodné zobrazení
- 3.3.2 Osová souměrnost
- 3.3.3 Středová souměrnost
- 3.3.4 Posunutí
- 3.3.5 Otočení
- 3.3.6 Skládání shodných zobrazení
- 3.3.7 Stejnolehlost
- 3.3.8 Stejnolehlost kružnic
- 3.3.9 Užití stejnolehlosti
- 3.3.10 Podobné zobrazení
4 Funkce
4.1 Funkce a její graf
- 4.1.1 Definice funkce
- 4.1.2 Graf funkce
- 4.1.3 Obor hodnot funkce
4.2 Lineární funkce
- 4.2.1 Definice lineární funkce
- 4.2.2 Grafy lineárních funkcí při řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
- 4.2.3 Rostoucí a klesající funkce
- 4.2.4 Vlastnosti lineárních funkcí
4.3 Funkce s absolutními hodnotami
- 4.3.1 Funkce absolutní hodnota
- 4.3.2 Funkce s absolutními hodnotami
- 4.3.3 Sudá a lichá funkce
- 4.3.4 Omezená funkce
- 4.3.5 Maximum a minimum funkce
4.4 Kvadratické funkce
- 4.4.1 Kvadratická funkce
- 4.4.2 Grafy kvadratických funkcí
- 4.4.3 Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic
4.5 Lineární lomené funkce
- 4.5.1 Nepřímá úměrnost
- 4.5.2 Lineární lomená funkce
- 4.5.3 Racionální a polynomické funkce
4.6 Mocninné funkce
- 4.6.1 Mocninné funkce s přirozeným exponentem
- 4.6.2 Mocninné funkce s celým exponentem
- 4.6.3 Inverzní funkce
- 4.6.4 Definice n-té odmocniny
- 4.6.5 Počítání s odmocninami
- 4.6.6 Mocniny s racionálním exponentem
- 4.6.7 Mocniny s iracionálním exponentem
4.7 Exponenciální a logaritmické funkce
- 4.7.1 Exponenciální funkce
- 4.7.2 Exponenciální rovnice
- 4.7.3 Logaritmická funkce
- 4.7.4 Logaritmus
- 4.7.5 Věty o logaritmech
- 4.7.6 Logaritmické a exponenciální rovnice
- 4.7.7 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus
5 Goniometrie
5.1 Funkce
- 5.1.1 Funkce a jejich vlastnosti
- 5.1.2 Periodická funkce
- 5.1.3 Složená funkce
5.2 Goniometrické funkce
- 5.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
- 5.2.2 Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové
- 5.2.3 Orientovaný úhel
- 5.2.4 Funkce sinus a kosinus
- 5.2.5 Grafy funkcí sinus a kosinus
- 5.2.6 Funkce tangens a kotangens
- 5.2.7 Goniometrické rovnice
5.3 Goniometrické vzorce
- 5.3.1 Základní vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí
- 5.3.2 Součtové vzorce
- 5.3.3 Další goniometrické vzorce
5.4 Trigonometrie
- 5.4.1 Sinová věta
- 5.4.2 Kosinová věta
- 5.4.3 Další trigonometrické věty
- 5.4.4 Užití sinové a kosinové věty v úlohách z praxe
6 Stereometrie
6.1 Úvod
- 6.1.1 Stereometrie
- 6.1.2 Tělesa
- 6.1.3 Volné rovnoběžné promítání
6.2 Polohové vlastnosti
- 6.2.1 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
- 6.2.2 Vzájemná poloha dvou přímek
- 6.2.3 Vzájemná poloha přímky a roviny
- 6.2.4 Vzájemná poloha dvou rovin
- 6.2.5 Rovnoběžnost přímek a rovin
- 6.2.6 Vzájemná poloha tří rovin
- 6.2.7 Řešení polohových konstrukčních úloh
6.3 Metrické vlastnosti
- 6.3.1 Odchylka přímek
- 6.3.2 Kolmost přímek a rovin
- 6.3.3 Odchylky přímek a rovin
- 6.3.4 Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
- 6.3.5 Vzdálenosti přímek a rovin
6.4 Zobrazení
- 6.4.1 Shodné zobrazení v prostoru
- 6.4.2 Rovinová souměrnost
- 6.4.3 Středová a osová souměrnost
- 6.4.4 Otočení a posunutí
- 6.4.5 Skládání shodných zobrazení
- 6.4.6 Podobná zobrazení
6.5 Tělesa
- 6.5.1 Mnohostěny
- 6.5.2 Rotační tělesa
- 6.5.3 Objem a povrch tělesa
- 6.5.4 Objem a povrch mnohostěnů
- 6.5.5 Objem a povrch rotačních těles
7 Analytická geometrie
7.1 Souřadnice
- 7.1.1 Souřadnice v rovině
- 7.1.2 Souřadnice v prostoru
- 7.1.3 Vzdálenost bodů
- 7.1.4 Střed úsečky
7.2 Vektory
- 7.2.1 Orientované úsečky
- 7.2.2 Vektor
- 7.2.3 Sčítání vektorů
- 7.2.4 Násobení vektoru číslem
- 7.2.5 Skalární součin vektorů
- 7.2.6 Posunutí soustavy souřadnic
- 7.2.7 Otočení kartézské soustavy souřadnic
- 7.2.8 Pravotočivá a levotočivá báze
- 7.2.9 Vektorový součin a smíšený součin
7.3 Geometrie v rovině
- 7.3.1 Parametrické vyjádření přímky
- 7.3.2 Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi
- 7.3.3 Obecná rovnice přímky
- 7.3.4 Polohové úlohy v rovině
- 7.3.5 Metrické úlohy v rovině
- 7.3.6 Směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky
7.4 Geometrie v prostoru
- 7.4.1 Parametrické vyjádření přímky
- 7.4.2 Parametrické vyjádření roviny
- 7.4.3 Obecná rovnice roviny
- 7.4.4 Polohové úlohy v prostoru
- 7.4.5 Metrické úlohy
7.5 Kuželosečky a kulová plocha
- 7.5.1 Kružnice
- 7.5.2 Kružnice a přímka
- 7.5.3 Elipsa
- 7.5.4 Elipsa a přímka
- 7.5.5 Parabola
- 7.5.6 Hyperbola
- 7.5.7 Hyperbola a přímka
- 7.5.8 Vyšetřování množin bodů metodou souřadnic
- 7.5.9 Kulová plocha
8 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
8.1 Kombinatorika
- 8.1.1 Základní kombinatorická pravidla
- 8.1.2 Variace
- 8.1.3 Permutace
- 8.1.4 Kombinace
- 8.1.5 Variace s opakováním
- 8.1.6 Permutace s opakováním
- 8.1.7 Kombinace s opakováním
- 8.1.8 Vlastnosti kombinačních čísel
- 8.1.9 Binomická věta
8.2 Pravděpodobnost
- 8.2.1 Náhodné pokusy
- 8.2.2 Množina možných výsledků pokusu
- 8.2.3 Jevy
- 8.2.4 Pravděpodobnosti
- 8.2.5 Pravděpodobnosti jevů
- 8.2.6 Sčítání pravděpodobností
- 8.2.7 Nezávislé jevy (násobení pravděpodobností)
- 8.2.8 Nezávislé pokusy
- 8.2.9 Binomické rozdělení (Bernoulliovo schéma)
- 8.2.10 Podmíněné pravděpodobnosti
8.3 Statistika
- 8.3.1 Statistický soubor, jednotka, znak
- 8.3.2 Rozdělení četností, jeho grafické znázornění
- 8.3.3 Charakteristiky polohy a variability
- 8.3.4 Korelace
9 Posloupnosti a řady
9.1 Posloupnosti a jejich vlastnosti
- 9.1.1 Pojem posloupnost
- 9.1.2 Rekurentní určení posloupnosti
- 9.1.3 Vlastnosti posloupností
- 9.1.4 Matematická indukce
9.2 Aritmetické a geometrické posloupnosti
- 9.2.1 Aritmetická posloupnost
- 9.2.2 Užití aritmetických posloupností
- 9.2.3 Geometrická posloupnost
- 9.2.4 Užití geometrických posloupností
- 9.2.5 Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností
9.3 Limity posloupností a nekonečné řady
- 9.3.1 Pojem limita posloupnosti
- 9.3.2 Věty o limitách posloupností
- 9.3.3 Užití limit posloupností
- 9.3.4 Nevlastní limita posloupnosti
- 9.3.5 Nekonečná geometrická řada
10 Komplexní čísla
10.1 Zavedení a základní vlastnosti komplexních čísel
- 10.1.1 Základní vlastnosti čísel reálných
- 10.1.2 Zavedení komplexních čísel
- 10.1.3 Sčítání a násobení komplexních čísel
- 10.1.4 Dělení komplexních čísel, komplexní čísla sdružená
- 10.1.5 Absolutní hodnota komplexního čísla
10.2 Geometrické znázornění komplexních čísel
- 10.2.1 Komplexní čísla jako body Gaussovy roviny
- 10.2.2 Goniometrický tvar komplexního čísla
- 10.2.3 Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
- 10.2.4 Moivreova věta
- 10.2.5 Komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině
10.3 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel
- 10.3.1 Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
- 10.3.2 Binomické rovnice
- 10.3.3 Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
11 Diferenciální a integrální počet
11.1 Diferenciální počet
- 11.1.1 Elementární funkce
- 11.1.1.1 Základní vlastnosti funkcí
- 11.1.1.2 Přehled elementárních funkcí
- 11.1.2 Spojitost funkce
- 11.1.2.1 Okolí bodu
- 11.1.2.2 Spojitost funkce v bodě
- 11.1.2.3 Spojitost funkce v intervalu
- 11.1.3 Limita funkce
- 11.1.3.1 Limita funkce v bodě
- 11.1.3.2 Limita funkce v nevlastním bodě
- 11.1.3.3 Užití limity funkce
- 11.1.4 Derivace funkce
- 11.1.4.1 Derivace funkce v bodě
- 11.1.4.2 Derivace elementárních funkcí
- 11.1.4.3 Průběh funkce
- 11.1.4.4 Užití diferenciálního počtu
11.2 Integrální počet
- 11.2.1 Primitivní funkce
- 11.2.1.1 Pojem primitivní funkce
- 11.2.1.2 Základní vzorce pro primitivní funkce
- 11.2.1.3 Integrační metody
- 11.2.2 Určitý integrál
- 11.2.2.1 Pojem určitý integrál
- 11.2.2.2 Výpočet určitých integrálů
- 11.2.2.3 Užití integrálního počtu